【2024学考5分钟干货】突破三角函数,只需要这8种数学思维方法!

2023-12-08 18:26 网络 评论
一. 方程的思维
例1. 已知sinθ+cosθ=图片,θ图片(0,π),则cotθ=________。
解析:由sinθ+cosθ=图片平方得
sinθcosθ=图片
又θ图片(0,π),
所以sinθ>0,cosθ<0,
且sinθ>图片
将sinθ,cosθ看作是方程图片的两根。
所以sinθ=图片,cosθ=图片
从而cotθ=图片,应填图片





二. 函数的思维
例2. 已知x,y ∈[图片],且x3+sinx-2a=0①,4y3+sinycosy+a=0②,求cos(x+2y)的值。
解析:设f(u)=u3+sinu。
由①式得f(x)=2a,由②式得
f(2y)=-2a。
因为f(u)在区间[图片]上是单调奇函数,
所以f(x)=-f(2y)=f(-2y)。
又所因x,-2y∈[图片],
所以x=-2y,即x+2y=0。
所以cos(x+2y)=1。





三. 数形结合思维
例3. 函数f(x)=sinx+2图片,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是______。
图片
解析:f(x)=图片
函数f(x)=sinx+2图片,x∈[0,2π]的图象(如图1)与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则1<k<3。





四. 化归的思维
例4. 设α为第四象限的角,若图片,则tan2α=_________。
解析:因为图片
=图片
=图片
=图片图片
所以,tan2图片=图片
又因为图片为第四象限的角,
所以tan图片=图片
从而求得tan2图片=图片





五. 分类讨论的思维
例5. 若△ABC的三内角满足sinA=图片①,问此三角形是否可能为直角三角形?
解析:假设△ABC可以为直角三角形。
(1)若B=90°,则A=90°-C,代入①中,得
sin(90°-C)=图片
所以cos2C=1+sinC,1-sin2C=1+sinC,
所以sinC=1,即C=90°。这是不可能的,所以B≠90°。
(2)同理,C≠90°。
(3)若A=90°。
①式右边=图片
①式左边=sinA=sin90°=1。
所以此三角形可为直角三角形,此时A=90°。





六. 换元的思维
例6. 已知sin3θ+cos3θ=1,求sinθ+cosθ的值。
解析:因为sin3θ+cos3θ
=(sinθ+cosθ)(sin2θ+cos2θ-sinθcosθ)
=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)
所以(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)=1。
设sinθ+cosθ=x(图片),
则sinθcosθ=图片
所以x图片
即x3-3x+2=0,(x-1)2(x+2)=0。
因为图片
所以x-1=0,得x=1。
所以sinθ+cosθ=1。





七. 整体的思维
例7.:
证明cos图片

证明:图片
b=图片
则ab=图片
=图片
=图片
因为b≠0,
所以a=图片。即原式得证。





八. 类比联想的思维
例8. 已知λ为非零常数,x∈R,且f(x+λ)=图片。问f(x)是否是周期函数?若是,求出它的一个周期;若不是,请说明理由。
分析:由于探索的是周期函数的问题,容易联想到三角函数。又f(x+λ)=图片的结构的形式极易与tan(x+图片)=图片进行类比,故可把tanx看成是f(x)的一个原型实例,且题中的λ相当于实例中的图片。由于周期函数tanx的周期T=4·图片,故可猜想f(x)也为周期函数,且周期为4λ。
解:f(x+2λ)=f[(x+λ)+λ]
=图片图片
则f(x+4图片)=f[(x+2图片)+2图片]
=图片

所以f(x)是周期函数,且4图片是它的一个周期。



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